種類のアイテムがコずつ計コ入ったガチャがある。引いているあいだにアイテムの補充はないとして、すべての種類をコンプリートするまでに引く回数の期待値を求めましょう。結果は以下のようになります。 はだいたい、引かずに済むガチャの割合を表しています…

種類のアイテムからなるガチャでどのアイテムも確率で出現するとする。全てのアイテムをコずつ重複して集めるまでに引くガチャの回数の期待値を評価してみましょう。１種類ずつ集める場合の期待値はよく知られていますが、複数ずつ集めるとなると証明の難易…

種類の色()の玉がそれぞれコで計コあり、これらを円形に配置する。回転および反転で不変な配置は同一視するとして、その配置の総数を とする。これを計算するための一般的な公式を作ります。 重複円順列の公式が前提となります。記号も引き継ぎます。円順列…

種類の色()の玉がそれぞれコで計コあり、これらを円形に配置する。回転で不変な配置は同一視するとして、その配置の総数を とする。これを計算するための一般的な公式を作ります。 の時計回りの回転を度回転と呼ぶことにします。 バーンサイドの補題を適用す…

soratobipenguin.hatenablog.com と後半は同じですが前半のモーメントの計算はずっと簡単になったので書き直しました。パラメータの異なる独立した指数分布の和の形にしてしまいます。 互いに独立 このとき の分布について考えてみる。 互いに独立 とする。…

種類のアイテムからなるガチャでが当たる正の確率をとする()。 このガチャについて全種類コンプリートするまでに引くガチャの回数の期待値は の空でない部分集合に対してをそのアイテムに対応する確率の和とすると(例. ) 3種類の場合を見れば一般の場合も計…

が正整数によってと表されたと仮定する。 次多項式を と定義する。 すると 以下が成り立つ。 (1)任意の正整数に対して は整数である。 (2)十分大きな正整数に対して は整数でない。 よって矛盾が生じ、の無理数性が証明される。 簡単な(2)を先に片づけておこ…

冪乗和 に関する一般的な公式について見ていきます。和はn-1までとなっていることに注意してください。 ベルヌーイ数 を で定義する。 少し並べてみると 実はこの後も奇数番号では0となります。 #1 kが3以上の奇数のとき と変形するとこれは偶関数であること…

個人的に、こういう順序で辿って行けば位相空間の公理が受け入れやすくなるのでは、というストーリー(？)を描いていきます。 位相構造は集合のつながり具合を記述するらしいものでした。例として位相構造よりはずっと具体的に思える距離空間について考えてみ…

バーンサイドの補題 有限群が有限集合に作用しているときによる軌道の数は以下で与えられる。 但し まずが推移的な作用である場合に示します。すなわち 補題の補題 が推移的に作用しているとき(軌道がたった一つのとき) 群は軌道ごとに別々に作用していると…

ベルンシュタインの定理 集合から集合への単射およびからへの単射が存在するならばからへの全単射が存在する。 この定理の証明はイメージ的にはかなり素朴だと思うので、そちらを優先して冗長に説明してみます。 まず一般論から。 集合と単射があるとき上に…

を有理式とするときの について考えてみる。まず多項式の場合から。 のとき、 特にならば。 但しは第二種スターリング数(定義は証明参照)。 例. とする。 第二種スターリング数とはを基底の線形和で表したときのの係数のことである。 二項展開 に直接もしく…

サイコロ振り続けるとき、目がの順に連続して出るまでにサイコロを何回振るか、その回数の期待値を一般的に求めよう。もっと直接的にも計算できるけれど、ここではマルチンゲールを利用してみる。 命題 として たとえば１が６回連続して出るまでに振る回数の…

対称群の非自明な正規部分群が交代群とでのクラインの四元群のみであることを乏しい知識で示してみます。 用いる知識は 群の部分群が正規部分群であることはがのいくつかの共役類の和集合として表されることと同値である。 対称群についてが同じ共役類に入る…

を2以上の整数として以下のような進法による整数の表示が考えられる。 但し 以外の表示においては 命題 進法によって任意の整数が一意に表現できる ことを確認する。 証明 まず一意性を証明する。移項することで ならば任意のでを示せばよい。 そうでないと…

soratobipenguin.hatenablog.com リンク先に書き直しました。こちらも一応残しておきますが、しなくてよい面倒な計算をしています。 互いに独立 このとき の分布について考えてみる。 期待値を求めてみよう。 ちなみに最小値分布 はに従うことが簡単に計算で…