数酸

数学に関して書き留めておこうと思ったものを気まぐれに。

ファウルハーバーの公式

冪乗和

$S_m(n)=1^m+2^m+...+(n-1)^m$

に関する一般的な公式について見ていきます。和はn-1までとなっていることに注意してください。

ベルヌーイ数 ${B_k}$ を

$\frac{x}{e^x-1}=\sum_{k=0}^\infty \frac{B_k}{k!}x^k$

で定義する。

少し並べてみると

${B_0=1}$

${B_1=-\frac{1}{2}}$

${B_2=\frac{1}{6}}$

${B_3=0}$

${B_4=-\frac{1}{30}}$

${B_5=0}$

実はこの後も奇数番号では0となります。

#1 kが3以上の奇数のとき

$B_k=0$

$\frac{x}{e^x-1}-B_1x= \frac{x}{2} \frac{e^{\frac{x}{2}}+e^{-\frac{x}{2}} }{e^{\frac{x}{2}}-e^{-\frac{x}{2}} }$

と変形するとこれは偶関数であることが分かる。□

ベルヌーイ多項式 ${B_k(x)}$ を

$B_k(x)=\sum_{i=0}^k \binom{k}{i} B_{k-i}x^i$

で定義する。

少し並べてみると

${B_0(x)=1}$

${B_1(x)=x-\frac{1}{2}}$

${B_2(x)=x^2-x+\frac{1}{6}}$

${B_3(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{2}x}$

${B_4(x)=x^4-2x^3+x^2-\frac{1}{30}}$

${B_5(x)=x^5-\frac{5}{2}x^4+\frac{5}{3}x^3-\frac{1}{6}x}$

もし二項定理との見た目の類似から

$(B+x)^n =\sum_{i=0}^n \binom{n}{i} B_{n-i}x^i$

と表記してしまうと

$B_k(x)=(B+x)^k$

と書けます。

次に、 ${B_k(0)=B_k}$ は当然だが ${B_k(1)}$ についても

#2 ${k \geq 2 }$ において

$B_k(1)=B_k$

$\frac{e^x-1}{x}\sum_{k=0}^\infty \frac{B_k}{k!}x^k=1$

${k \ge 1}$ において係数比較すると

$\sum_{k=i+j} \frac{B_j}{(i+1)! j!}=0$

$\sum_{j=0}^k \binom{k+1}{j}B_j=0$

$\sum_{j=0}^{k+1} \binom{k+1}{j}B_j=B_{k+1}$

左辺はまさしく ${B_{k+1}(1)}$ となっている。□

#3 ${k \geq 1 }$ において

$B'_k(x)=kB_{k-1}(x)$

$B'_k(x)=\sum_{i=1}^k \binom{k}{i}B_{k-i}x^{i-1}i$

$=k \sum_{i=1}^k \binom{k-1}{i-1}B_{k-i}x^{i-1}$

$=k \sum_{i=0}^{k-1} \binom{k-1}{i}B_{k-i-1}x^{i}$

$=kB_{k-1}(x)$ □

ちなみにこの性質はベルヌーイ数の性質から出てきたのではなく、どんな数列からでも同じような手法で多項式列を構成すればこの性質を持つことになります。

#4 ${k \geq 1 }$ において

$\int_{0}^{1} B_k(x)dx =0$

$\int_{0}^{1} B_k(x)dx$

$=\frac{1}{k+1}\int_{0}^{1} B'_{k+1}(x)dx$

$=\frac{1}{k+1}( B_{k+1}(1)-B_{k+1}(0) )$

#2より

$=0$ □

次が導出のためのメインの公式となります。

#5 ${f}$ を滑らかな関数とする。このとき ${m \ge 1 }$ で

$f(0)=\int_{0}^{1}f(x)dx + \sum_{k=1}^{m} \frac{B_k}{k!}f^{(k-1)}(x)|_{0}^{1}$

$+(-1)^{m+1} \int_{0}^{1}\frac{B_m(x)}{m!}f^{(m)}(x)dx$

が成り立つ。

帰納法で示す。 ${m=1}$ の場合を書き下すと

$f(0)=\int_{0}^{1}f(x)dx -\frac{1}{2}(f(1)-f(0))+ \int_{0}^{1}(x-\frac{1}{2})f'(x)dx$

これは部分積分から簡単に確認できる。

mで成立していると仮定する。#3と部分積分から

${\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{B_m(x)}{m!}f^{(m)}(x)dx }$

${\displaystyle =\int_{0}^{1}\frac{B'_{m+1}(x)}{(m+1)!}f^{(m)}(x)dx }$

${\displaystyle = \frac{B_{m+1}(x)}{(m+1)!}f^{(m)}(x)|_0^1 -\int_0^1 \frac{B_{m+1}(x)}{(m+1)!}f^{(m+1)}(x)dx }$

であるから

${\displaystyle (-1)^{m+1}\frac{B_{m+1}(x)}{(m+1)!}f^{(m)}(x)|_0^1 =\frac{B_{m+1}}{(m+1)!}f^{(m)}(x)|_0^1 }$

を確認すればよい。#1, #2によりmが奇数ならそのまま一致し、偶数なら両辺とも０であることが分かる。□

大雑把な捉え方としては、仮に最後の剰余項といえる項が ${m \rightarrow \infty}$ で0に収束するとすると、

$g(x)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{B_k}{k!}f^{(k)}(x)$

とすれば

$f(0)=\int_{0}^{1}g(x)dx$

となって、これは ${ \sum a(n)}$ を計算するために ${a(n)=b(n+1)-b(n)}$ となる ${b(n)}$ を求めることに対応します。

#6 整数 ${a,b(a \lt b)}$ として

$\sum_{k=a}^{b-1}f(k)=\int_{a}^{b}f(x)dx + \sum_{k=1}^{m} \frac{B_k}{k!}f^{(k-1)}(x)|_{a}^{b}$

$+(-1)^{m+1} \int_{a}^{b}\frac{B^{*}_m(x)}{m!}f^{(m)}(x)dx$

但し ${B^*_m(x)=B_m(x-[x]) }$ つまり ${B_m(x)}$ の定義域を ${[0,1)}$ に制限してから周期１の関数となるように繰り返した関数とする。

${f(x+k), k=a,a+1,...,b-1}$

に対して#5を適用し、総和をとることで得られる。□

ファウルハーバーの公式

${m \geq 1, n \geq 2 }$ のとき

$\sum_{k=1}^{n-1}k^m=\frac{1}{m+1}( B_{m+1}(n)-B_{m+1} )$

#6 を ${a=0, b=n, f(x)=x^m}$ として適用すると

$\sum_{k=0}^{n-1}k^m$

$=\int_{0}^{n}x^m dx + \sum_{k=1}^{m} \frac{B_k}{k!}\frac{m!}{(m-k+1)!}x^{m-k+1}|_{0}^{n} +(-1)^{m+1} \int_{0}^{n}B^{*}_m(x)dx$

#4より最後の項(剰余項)は消えて

$=\frac{n^{m+1}}{m+1} + \sum_{k=1}^{m} \frac{B_k}{k!}\frac{m!}{(m-k+1)!}n^{m-k+1}$

$=\frac{n^{m+1}}{m+1} +\frac{1}{m+1}\sum_{k=1}^{m} \binom{m+1}{k} B_k n^{m-k+1}$

$=\frac{1}{m+1}\sum_{k=0}^{m} \binom{m+1}{k} B_k n^{m-k+1}$

$=\frac{1}{m+1}( B_{m+1}(n)-B_{m+1} )$ □

もし ${k=n}$ まで足してかつ公式の形はそのままにしたいなら ${B_1=1/2}$ と ${B_1}$ だけ変更する必要があります。