個人的に、こういう順序で辿って行けば位相空間の公理が受け入れやすくなるのでは、というストーリー(？)を描いていきます。 位相構造は集合のつながり具合を記述するらしいものでした。例として位相構造よりはずっと具体的に思える距離空間について考えてみ…

バーンサイドの補題 有限群が有限集合に作用しているときによる軌道の数は以下で与えられる。 但し まずが推移的な作用である場合に示します。すなわち 補題の補題 が推移的に作用しているとき(軌道がたった一つのとき) 群は軌道ごとに別々に作用していると…

ベルンシュタインの定理 集合から集合への単射およびからへの単射が存在するならばからへの全単射が存在する。 この定理の証明はイメージ的にはかなり素朴だと思うので、そちらを優先して冗長に説明してみます。 まず一般論から。 集合と単射があるとき上に…

を有理式とするときの について考えてみる。まず多項式の場合から。 のとき、 特にならば。 但しは第二種スターリング数(定義は証明参照)。 例. とする。 第二種スターリング数とはを基底の線形和で表したときのの係数のことである。 二項展開 に直接もしく…

サイコロ振り続けるとき、目がの順に連続して出るまでにサイコロを何回振るか、その回数の期待値を一般的に求めよう。もっと直接的にも計算できるけれど、ここではマルチンゲールを利用してみる。 命題 として たとえば１が６回連続して出るまでに振る回数の…

対称群の非自明な正規部分群が交代群とでのクラインの四元群のみであることを乏しい知識で示してみます。 用いる知識は 群の部分群が正規部分群であることはがのいくつかの共役類の和集合として表されることと同値である。 対称群についてが同じ共役類に入る…