数酸

数学に関して書き留めておこうと思ったものを気まぐれに。

指数分布の最大値分布(改)

soratobipenguin.hatenablog.com

と後半は同じですが前半のモーメントの計算はずっと簡単になったので書き直しました。パラメータの異なる独立した指数分布の和の形にしてしまいます。

 

{X_1,X_2,..,X_n \sim {\rm Exp}(\lambda)} 互いに独立

{Y=\max (X_1,X_2,..,X_n)}

このとき{Y} の分布について考えてみる。

 

 { X'_k \sim {\rm Exp} (k \lambda)  }　{ 1 \le k \le n }　互いに独立

とする。このとき

{\displaystyle Y }　と　{\displaystyle Z=\sum_{k=1}^n X'_k }　は分布として等しい

 

特性関数が等しいことを示す。

{\displaystyle \phi_Z(u)=\prod_{k=1}^n \phi_{X'_k}(u)=\prod_{k=1}^n \frac{1}{1-\frac{iu}{k \lambda}} }

 一方

{\displaystyle P(Y \le x)=\prod_{k=1}^n P(X_k \le x)=(1-e^{-\lambda x})^n  }

 なので{ Y }の密度関数は微分して

{\displaystyle f_Y(x)=n \lambda  e^{-\lambda x} (1-e^{-\lambda x})^{n-1}  }

よって特性関数は

{\displaystyle \phi_Y(u)=n \lambda \int_0^{\infty}  e^{-\lambda x} (1-e^{-\lambda x})^{n-1} e^{iux}  }

{\displaystyle =n \lambda \sum_{k=0}^{n-1} \int_0^\infty \binom{n-1}{k}(-1)^k e^{-(\lambda k+\lambda-iu)} dx }

{\displaystyle =n  \sum_{k=0}^{n-1}  \binom{n-1}{k}\frac{(-1)^k}{k+1 -\frac{iu}{\lambda}}  }

ここで

soratobipenguin.hatenablog.com

で示した

{\displaystyle \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k {}_nC_k }{k+\alpha} =\frac{n!}{\alpha(\alpha+1)...(\alpha+n)} }

 

により

{\displaystyle =n! \prod_{k=1}^n \frac{1}{ k-\frac{iu}{\lambda}} }

{\displaystyle = \prod_{k=1}^n \frac{1}{ 1-\frac{iu}{k\lambda}} }□

 

モーメントの計算は{ Y }より{ Z }の方がずっと容易である。

{\displaystyle E[Z]=\sum_{k=1}^n E[X'] =\frac{1}{\lambda k}}

{\displaystyle {\rm Var}(Z)=(\sum_{k=1}^n (X'_k-E[X_k]))^2}

{\displaystyle  =\sum_{k=1}^n (X'_k-E[X'])^2 =\sum_{k=1}^n {\rm Var}(X_k)=\sum_{k=1}^n\frac{1}{(\lambda k)^2} }

 

 

 今度は{n}が大きくなる時に{ Y }が近づいていく分布を求める。{ n }を動かすので{ Y }は{ Y_n }と書くことにする。

{\displaystyle Y_n-\lambda^{-1} \log n \rightarrow ^d W 　(n \rightarrow \infty) }

但し{W}の分布関数{G}は

{\displaystyle G(x)= \exp(-e^{-\lambda x  })} 

 

 {W_n=Y_n-\lambda^{-1} \log n}の分布関数を{G_n}とする。

{F_n(x)=(1-e^{- \lambda x})^n　\chi_ { [ 0,\infty  )}(x) }

{\chi}は定義関数。

{G_n(x)=F_n(x+\lambda^{-1} \log n)}

{=(1-\frac{e^{-\lambda x}}{n})^n \chi_{ [-\lambda^{-1} \log n,\infty)}(x) }

これは　{ n \rightarrow \infty } によって任意の実数{x}で

{G(x)= \exp(-e^{-\lambda x})  }  に収束する。□

 

{ G(x) } はガンベル分布と呼ばれ、極値分布の一つです。

 

{E[W],{\rm Var}(W)}を計算してみると

{E[ W_n ] \rightarrow E[W] } が比較的容易に分かるので

{\displaystyle E[W]=\lim_{n \rightarrow \infty }(E [ Y_n ] -\lambda^{-1} \log n) }

{\displaystyle =\lambda^{-1} \lim_{n \rightarrow \infty } (\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}-\log n)}

{\displaystyle=\gamma} \lambda^{-1}

となる（{ \gamma}はオイラー定数）。

同じようにして

{\displaystyle {\rm Var}(W)=\lambda^{-2} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}= \frac{\pi^2}{6}\lambda^{-2} }

おまけとして3次４次の中心化モーメントを記しておくと

{\displaystyle E[ (W-\gamma \lambda^{-1})^3 ]=2 \zeta(3) \lambda^{-3}}

{\displaystyle E[ (W-\gamma \lambda^{-1})^4 ]=6\lambda^{-4} \zeta(4)+3\lambda^{-4} \zeta(2)^2=\frac{3\pi^4}{20} \lambda^{-4}}