数酸

数学に関して書き留めておこうと思ったものを気まぐれに。

二項係数に関する交代和

計算

{ f(x) }を有理式とするときの

{\displaystyle \sum_{k=0}^n (-1)^k {}_nC_k f(k) }

について考えてみる。まず多項式の場合から。

 

{\displaystyle f(x)=\sum_{i=0}^m a_i x^i }のとき、

{\displaystyle \sum_{k=0}^n (-1)^k {}_nC_k f(k)=(-1)^n n! \sum_{i=n}^m a_iS(i,n) }

特に{ m \lt n }ならば{ 0 }。

但し{ S(i,n) }は第二種スターリング数(定義は証明参照)。

 

例.

{\displaystyle \sum_{k=0}^n (-1)^k {}_nC_k k^n=(-1)^n n! }

{\displaystyle \sum_{k=0}^n (-1)^k {}_nC_k k^{n+1}=(-1)^n n!  {}_{n+1}C_2 }

 

{ f_0(x)=1, f_1(x)=x }

{f_i(x)=x(x-1)...(x-(i-1)) (i \ge 2) }

とする。

第二種スターリング数{ S(i,n) }とは{ x^i }を基底{ (f_0,f_1,f_2,...)}の線形和で表したときの{ f_n }の係数のことである。

 

二項展開

{\displaystyle (1+x)^n=\sum_{k=0}^n {}_nC_k x^k }

に直接もしくは{ m }回(但し{ n }未満)微分してから{ x=-1 }を代入することで、{ m \lt n }ならば

{\displaystyle \sum_{k=0}^n (-1)^k {}_nC_k  f_m(k)=0 }

また{ m \gt n }においても{ f_m(0)=...=f_m(n)=0 }なのでやはり

{\displaystyle \sum_{k=0}^n (-1)^k {}_nC_k  f_m(k)=0 }

{ m=n }では

{\displaystyle \sum_{k=0}^n (-1)^k {}_nC_k  f_n(k)=(-1)^n f_n(n)=(-1)^n n! }

 

以上から

 {\displaystyle \sum_{k=0}^n (-1)^k {}_nC_k k^m }

 {\displaystyle =\sum_{k=0}^n (-1)^k {}_nC_k \sum_{i=0}^m S(m,i)f_i(k) }

 {\displaystyle =\sum_{i=0}^m S(m,i) \sum_{k=0}^n (-1)^k {}_nC_k f_i(k) }　

 {\displaystyle =S(m,n) (-1)^n n! }

なので

 {\displaystyle f(x)=\sum_{i=0}^m a_i x^i }のとき、

 {\displaystyle \sum_{k=0}^n (-1)^k {}_nC_k f(k) }

  {\displaystyle =\sum_{i=0}^m a_i \sum_{k=0}^n (-1)^k {}_nC_k k^i }

 {\displaystyle = (-1)^n n! \sum_{i=n}^m a_i S(i,n) }　□

 

有理式の部分分数分解を考えれば、後は{ f(x)=1/(x+\alpha)^m }について計算すればよい。以下{ \alpha }は{ 0,-1,...,-n }でない複素数とする。

 まず{ m=1 }の場合

{\displaystyle \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k {}_nC_k }{k+\alpha} =\frac{n!}{\alpha(\alpha+1)...(\alpha+n)} }

 

{ \alpha }が正の実数の時

{\displaystyle \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k {}_nC_k }{k+\alpha}  }

{\displaystyle =\sum_{k=0}^n \int_0^1 (-1)^k {}_nC_k x^{k+\alpha-1}dx   } 

{\displaystyle =\int_0^1 \sum_{k=0}^n  (-x)^k {}_nC_k x^{\alpha-1}dx   } 

{\displaystyle =\int_0^1 (1-x)^n x^{\alpha-1}dx   } 

{\displaystyle =B(n+1,\alpha) } 

{\displaystyle =\frac{n! \Gamma(\alpha)}{\Gamma(n+\alpha+1)} } 

{\displaystyle =\frac{n!}{\alpha(\alpha+1)...(\alpha+n)}  }

問題の式の両辺を{ \alpha }に関する複素関数とみると、どちらも{ 0,-1,...,-n }を除く全平面で定義された正則関数。よって一致の定理から従う。(結果的には{ \alpha }に関する有理式とみたときの部分分数分解に過ぎない。)　□

 

次に{ m=2 }の場合

{\displaystyle \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k {}_nC_k }{(k+\alpha)^2} =\frac{n!}{\alpha(\alpha+1)...(\alpha+n)} \sum_{k=0}^n \frac{1}{k+\alpha} }

 

{\displaystyle \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k {}_nC_k }{k+\alpha} =\frac{n!}{\alpha(\alpha+1)...(\alpha+n)} }

の両辺を{ \alpha  }の関数とみて微分すればよい。□

 

さらに大きな次数についても繰り返し微分していけば原理的には求まる。結果だけ書いておけば

{\displaystyle  \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k {}_nC_k }{(k+\alpha)^m} }

{\displaystyle =n! \sum_{p_0+...+p_n=m-1} \frac{1}{\alpha^{p_0+1}(\alpha+1)^{p_1+1}...(\alpha+n)^{p_n+1}}  }

但し{ p_0,p_1,...,p_n }は非負整数を動く。 

 

さらにこれより

{\displaystyle  \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k-1} {}_nC_k }{k^m}= \sum_{p_1+...+p_n=m} \frac{1}{1^{p_1}2^{p_2}...n^{p_n}}  }

但し{ p_1,p_2,...,p_n }は非負整数を動く。 

 

{\displaystyle  \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k-1} {}_nC_k }{k^m}　}

{\displaystyle =n\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k-1} {}_{n-1}C_{k-1} }{k^{m+1}}　}

{\displaystyle  =n\sum_{k=0}^{n-1} \frac{(-1)^k {}_{n-1}C_k }{(k+1)^{m+1}}　}

 {\displaystyle  =n!\sum_{p_1+...p_n=m} \frac{1}{1^{p_1+1}...n^{p_n+1}} }

 {\displaystyle  =\sum_{p_1+...p_n=m} \frac{1}{1^{p_1}...n^{p_n}} }　□

 

ちなみに{ m=1 }の場合は

{\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k {}_nC_k }{k+\alpha} =\frac{n!}{\alpha(\alpha+1)...(\alpha+n)}-\frac{1}{\alpha} }

として{ \alpha \rightarrow 0 }と極限をとれば、右辺はロピタルの定理などを用いれば計算できて

{\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k-1} {}_nC_k }{k} =\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} }

が分かる。