種類のアイテムがコずつ計コ入ったガチャがある。引いているあいだにアイテムの補充はないとして、すべての種類をコンプリートするまでに引く回数の期待値を求めましょう。結果は以下のようになります。 はだいたい、引かずに済むガチャの割合を表しています…

種類のアイテムからなるガチャでどのアイテムも確率で出現するとする。全てのアイテムをコずつ重複して集めるまでに引くガチャの回数の期待値を評価してみましょう。１種類ずつ集める場合の期待値はよく知られていますが、複数ずつ集めるとなると証明の難易…

種類の色()の玉がそれぞれコで計コあり、これらを円形に配置する。回転および反転で不変な配置は同一視するとして、その配置の総数を とする。これを計算するための一般的な公式を作ります。 重複円順列の公式が前提となります。記号も引き継ぎます。円順列…

種類の色()の玉がそれぞれコで計コあり、これらを円形に配置する。回転で不変な配置は同一視するとして、その配置の総数を とする。これを計算するための一般的な公式を作ります。 の時計回りの回転を度回転と呼ぶことにします。 バーンサイドの補題を適用す…

soratobipenguin.hatenablog.com と後半は同じですが前半のモーメントの計算はずっと簡単になったので書き直しました。パラメータの異なる独立した指数分布の和の形にしてしまいます。 互いに独立 このとき の分布について考えてみる。 互いに独立 とする。…

種類のアイテムからなるガチャでが当たる正の確率をとする()。 このガチャについて全種類コンプリートするまでに引くガチャの回数の期待値は の空でない部分集合に対してをそのアイテムに対応する確率の和とすると(例. ) 3種類の場合を見れば一般の場合も計…

が正整数によってと表されたと仮定する。 次多項式を と定義する。 すると 以下が成り立つ。 (1)任意の正整数に対して は整数である。 (2)十分大きな正整数に対して は整数でない。 よって矛盾が生じ、の無理数性が証明される。 簡単な(2)を先に片づけておこ…

冪乗和 に関する一般的な公式について見ていきます。和はn-1までとなっていることに注意してください。 ベルヌーイ数 を で定義する。 少し並べてみると 実はこの後も奇数番号では0となります。 #1 kが3以上の奇数のとき と変形するとこれは偶関数であること…