数酸

数学に関して書き留めておこうと思ったものを気まぐれに。

円周率の無理数性(ニーベンの証明をなるべく入りやすい順序で)

${ \pi }$ が正整数 ${ a,b }$ によって ${ \pi=\frac{a}{b} }$ と表されたと仮定する。

${ 2n }$ 次多項式 ${ f_n }$ を

$f_n(x)=\frac{x^n(a-bx)^n}{n!}$ 　と定義する。

すると以下が成り立つ。

(1)任意の正整数 ${ n }$ に対して

$\int_0^\pi f_n(x)\sin x dx$ 　は整数である。

(2)十分大きな正整数 ${ n }$ に対して

$\int_0^\pi f_n(x)\sin x dx$ 　は整数でない。

よって矛盾が生じ、 ${ \pi }$ の無理数性が証明される。

簡単な(2)を先に片づけておこう。

${0 \lt x \lt \pi }$ 　で

$\displaystyle {0 \lt f_n(x)\sin x \lt \frac{\pi^n a^n}{n!} }$

なので

${\displaystyle0 \lt \int_0^\pi f_n(x)\sin x dx \lt \frac{\pi^{n+1} a^n}{n!} }$

${\displaystyle \frac{\pi^{n+1} a^n}{n!} }$ は ${ n \rightarrow \infty }$ で ${ 0 }$ に収束するから十分大きな ${ n }$ では ${ 1 }$ 未満の正数であり、整数でない。□

メインの(1)へ進もう。

$\int_0^\pi f_n(x)\sin x dx$ は ${ f_n(x) }$ が多項式であることから ${ f_n }を微分側にして$ 部分積分を何度も( ${ 2n }$ 回)繰り返せば積分なしに表せることに注意しよう。

二度部分積分すると

${\displaystyle　\displaystyle \int_0^\pi f_n(x)\sin x dx =f_n(0)+f_n(\pi)- \int_0^\pi f''_n(x)\sin x dx }$

となる。これを繰りかえしていけば

${\displaystyle \int_0^\pi f_n(x)\sin x dx =\sum_{k=0}^n (-1)^k(f_n^{(2k)}(0)+f_n^{(2k)}(\pi))　 }$

となる。

よってこれが整数であることを示すには

${0 \le k \le 2n}$ のとき

${ f_n^{(k)}(0), f_n^{(k)}(\pi) }$ 　は整数である

ことを示せばよい。

先に ${ f_n^{(k)}(0) }$ が整数であることを示す。

ライプニッツの公式から

$f_n^{(k)}(x)=\frac{1}{n!}\sum_{i=0}^k \binom{k}{i}(x^n)^{(i)}((a-bx)^n)^{(k-i)}$

だが

${ (x^n)^{(i)} }$ に ${ 0 }$ を代入して ${ 0 }$ とならないのは ${ i=n }$ の時だけなので ${ k \lt n }$ なら当然 ${ f_n^{(k)}(0)=0 }$ であり ${ k \ge n }$ なら

${\displaystyle f_n^{(k)}(0)=\binom{k}{n}\frac{n!}{(2n-k)!}a^{2n-k}(-b)^{k-n} }$

これは整数である。

さらに ${ f_n(\pi-x)=f_n(x) }$ であるから

${ f_n^{(k)}(\pi-x)=(-1)^k f_n^{(k)}(x) }$

${ f_n^{(k)}(\pi)=(-1)^k f_n^{(k)}(0) }$

よって ${ f_n^{(k)}(\pi)}$ も整数となる。　□