ベルンシュタインの定理のイメージ優先証明
この定理の証明はイメージ的にはかなり素朴だと思うので、そちらを優先して冗長に説明してみます。
まず一般論から。
集合と単射があるとき上に、以下のような同値関係が入る。
非負整数が存在してまたは
この同値類の一つをとする。の定義域、値域を上に制限したものをとする。
このとき、きっちり証明を書こうとすると面倒くさいけれどイメージ的には明らかなことは
上の3つの型はそれぞれ、直線型、半直線型、円周型と呼べます。
定理のステートメントの集合に対してとすれば二つの単射は上の単射を自然に誘導するのでそれをとする。はの元をの元に、の元をの元にうつす。
このに対して上述の同値関係を考えて、写像をそれぞれの同値類に制限したものに分割する。するとそれぞれの同値類上での元とが一対一対応していることを示せば定理は証明されるが、これはどの型においてもとが交互に現れることから明らかである(円周型のは必ず偶数であることに注意)。