数酸

数学に関して書き留めておこうと思ったものを気まぐれに。

負の進法による整数表現

その他

${M}$ を2以上の整数として以下のような ${-M}$ 進法による整数の表示が考えられる。

$(a_n a_{n-1}...a_0)_{-M}=\sum_{k=0}^n a_k(-M)^k$ 　　

但し　 ${ a_k \in \{ 0,1,2,..,M-1 \} }$ 　

${0}$ 以外の表示においては ${a_n \neq 0}$

命題　 ${-M}$ 進法によって任意の整数が一意に表現できる

ことを確認する。

証明

まず一意性を証明する。移項することで

${\displaystyle \sum_{k=0}^n b_k(-M)^k }=0$ 　　

${ b_k \in \{-(M-1),..,-1,0,1,..,M-1 \} }$ 　

ならば任意の ${k}$ で ${b_k=0}$ を示せばよい。

そうでないと仮定すると ${b_k \neq 0}$ となる最小の ${k}$ が存在するので、それを ${k_0}$ とする。 ${(-M)^{k_0} }$ で割ると

$b_{k_0}-M \sum_{k=k_0+1}^n b_k(-M)^{k-k_0-1 }=0$ 　

左辺は明らかに ${M}$ の倍数でないので矛盾する。

次に任意の整数が表現できることを示す。

整数 ${A}$ に対して ${A-a}$ が ${M}$ の倍数となるような ${a \in \{ 0,1,..,M-1 \}}$ が存在する。もし ${B=(A-a)/(-M)}$ が ${-M}$ 進法表示可能ならば ${A}$ も ${-M}$ 進法表示可能。実際

$B=(a_n a_{n-1}...a_0)_{-M}$

なら

$A=(a_n a_{n-1}...a_0 a)_{-M}$

と表示できる。

$|B| \lt |A|$ 　

$\Leftrightarrow |A-a| \lt M|A|$

$\Leftarrow |A|+a \lt M|A|$

$\Leftrightarrow \frac{a}{M-1} \lt |A|$

であるから ${|A| \gt 1}$ ならば ${A}$ の表示可能性は ${A}$ より絶対値の小さい整数の表示可能性に帰着する。 ${0,1}$ は明らかなので ${-1}$ が ${-M}$ 進法表示できることだけ確認すればよいが

$-1=(M-1)+1 \times (-M)=(1,M-1)_{-M}$

となる。□

指数分布の最大値分布

確率統計

soratobipenguin.hatenablog.com

リンク先に書き直しました。こちらも一応残しておきますが、しなくてよい面倒な計算をしています。

${X_1,X_2,..,X_n \sim {\rm Exp}(\lambda)}$ 互いに独立

${Y_n=\max (X_1,X_2,..,X_n)}$

このとき ${Y_n}$ の分布について考えてみる。

期待値を求めてみよう。

$E[Y_n]=\lambda^{-1} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$

ちなみに最小値分布 ${\min (X_1,X_2,..,Xn)}$ は ${ {\rm Exp}(n \lambda )}$ に従うことが簡単に計算できるので期待値は ${(n \lambda)^{-1}}$ となる。

${Y_n}$ の分布関数を ${F_n}$ とすると

$P(\max(X_1,X_2,..,X_n) \leq x )$

$=P(X_1 \leq x)P(X_2 \leq x)...P(X_n \leq x)$

$=P(X_1 \leq x)^n$

であるから ${x \geq 0}$ において

$F_n(x)=(1-e^{- \lambda x})^n$

その他のの範囲では０。

したがって

$E[Y_n ]=\int_0^{+\infty} (1-F_n(x))dx$

$=\int_0^{+\infty} \sum_{k=1}^n {}_n C_k (-1)^{k-1} e^{-k \lambda x}dx$

$=\lambda^{-1}\sum_{k=1}^n \frac{{}_n C_k (-1)^{k-1}}{k}$

一方で

${\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} }$

$=\int_0^1 (1+t+t^2+...+t^{n-1})dt$

$=\int_0^1 \frac{1-t^n}{1-t}dt$

${t=1-x}$ と置いて

$=\int_0^1 \frac{1-(1-x)^n}{x} dx$

$=\int_0^1 \sum_{k=1}^n {}_n C_k (-x)^{k-1} dx$

$=\sum_{k=1}^n \frac{ {}_n C_k (-1)^{k-1} }{k}$

と計算される。□

次に分散を求める。

$V(Y_n)=\lambda^{-2} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}$

この証明には

に登場する以下の式を用いる。

${\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k-1} {}_nC_k }{k^m}= \sum_{p_1+...+p_n=m} \frac{1}{1^{p_1}2^{p_2}...n^{p_n}} }$

但し ${ p_1,p_2,...,p_n }$ は非負整数を動く。

期待値の場合と同様にして

$E[Y_n^2]=\int_0^{+\infty} 2x(1-F_n(x))dx$

$=\int_0^{+\infty} \sum_{k=1}^n {}_n C_k (-1)^{k-1} 2xe^{-k \lambda x}dx$

$=2\lambda^{-2}\sum_{k=1}^n \frac{{}_n C_k (-1)^{k-1}}{k^2}$

一方、引用した式に ${ m=2 }$ を代入して

${\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k-1} {}_nC_k }{k^2} }$

${\displaystyle =\sum_{p_1+...+p_n=2} \frac{1}{1^{p_1}2^{p_2}...n^{p_n}} }$

$=\frac{1}{2}((\sum_{k=1}^n k^{-1})^2+\sum_{k=1}^n k^{-2})$

よって

$V(Y_n)=E[Y_n^2]-E[Y_n]^2$

$=\lambda^{-2}((\sum_{k=1}^n k^{-1})^2+\sum_{k=1}^n k^{-2})-(\lambda^{-1} \sum_{k=1}^n k^{-1})^2$

$=\lambda^{-2} \sum_{k=1}^n k^{-2}$ □

同じようにして高次のモーメントも計算可能。３次、4次の結果を記しておくと ${ \mu=E[Y_n]}$ として

$E[ (Y_n-\mu)^3 ]=2\lambda^{-3} \sum_{k=1}^n k^{-3}$

$E[ (Y_n-\mu)^4 ]=6\lambda^{-4} \sum_{k=1}^n k^{-4}+3\lambda^{-4} (\sum_{k=1}^n k^{-2})^2$

今度は ${n}$ が大きくなる時に近づいていく分布を求める。

$Y_n-\lambda^{-1} \log n \rightarrow ^d Z 　(n \rightarrow \infty)$

但し ${Z}$ の分布関数 ${G}$ は

${\displaystyle G(x)= \exp(-e^{-\lambda x })}$

${Z_n=Y_n-\lambda^{-1} \log n}$ の分布関数を ${G_n}$ とする。

${F_n(x)=(1-e^{- \lambda x})^n　\chi_ { [ 0,\infty )}(x) }$

${\chi}$ は定義関数。

${G_n(x)=F_n(x+\lambda^{-1} \log n)}$

${=(1-\frac{e^{-\lambda x}}{n})^n \chi_{ [-\lambda^{-1} \log n,\infty)}(x) }$

これは　 ${ n \rightarrow \infty }$ によって任意の実数 ${x}$ で

${G(x)= \exp(-e^{-\lambda x}) }$ に収束する。□

ついでに ${E[Z],V(Z)}$ を計算しておくと

${E[ Z_n ] \rightarrow E[Z] }$ が比較的容易に分かるので

$E[Z]=\lim_{n \rightarrow \infty }(E [ Y_n ] -\lambda^{-1} \log n)$

$=\lambda^{-1} \lim_{n \rightarrow \infty } (\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}-\log n)$

${\displaystyle=\gamma} \lambda^{-1}$

となる（ ${ \gamma}$ はオイラー定数）。

同じようにして

$V(Z)=\lambda^{-2} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}= \frac{\pi^2}{6}\lambda^{-2}$

ついでに

$E[ (Z-\gamma \lambda^{-1})^3 ]=2 \zeta(3) \lambda^{-3}$

$E[ (Z-\gamma \lambda^{-1})^4 ]=6\lambda^{-4} \zeta(4)+3\lambda^{-4} \zeta(2)^2=\frac{3\pi^4}{20} \lambda^{-4}$