数酸

数学に関して書き留めておこうと思ったものを気まぐれに。

ベルンシュタインの定理のイメージ優先証明

集合位相

ベルンシュタインの定理

集合 ${ A }$ から集合 ${ B }$ への単射および ${ B }$ から ${ A }$ への単射が存在するならば ${ A }$ から ${ B }$ への全単射が存在する。

この定理の証明はイメージ的にはかなり素朴だと思うので、そちらを優先して冗長に説明してみます。

まず一般論から。

集合 ${ C }$ と単射 ${ f:C \rightarrow C }$ があるとき ${ C }$ 上に、以下のような同値関係が入る。

$a \sim b$

${ \Leftrightarrow }$ 非負整数 ${ n }$ が存在して ${ f^n(a)=b }$ または ${ f^n(b)=a }$

この同値類の一つを ${ E_i }$ とする。 ${ f }$ の定義域、値域を ${ E_i }$ 上に制限したものを ${ f_i }$ とする。

このとき、きっちり証明を書こうとすると面倒くさいけれどイメージ的には明らかなことは

各 ${ f_i:E_i \rightarrow E_i }$ は以下のいずれかと写像として同型

${p:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} }$ 　 ${ p(x)=x+1}$

$q:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ 　 ${ q(x)=x+1 }$

${ m }$ を正整数として

$r: \mathbb{Z}/ m \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/ m \mathbb{Z}$ 　 ${ r([x])=[ x+1 ] }$

但し ${ m=1 }$ のときは一点集合上の自明な写像とみなす。

上の３つの型はそれぞれ、直線型、半直線型、円周型と呼べます。

定理のステートメントの集合 ${ A,B }$ に対して ${ C=A \cup B }$ とすれば二つの単射は ${ C }$ 上の単射を自然に誘導するのでそれを ${ f }$ とする。 ${ f }$ は ${ A }$ の元を ${ B }$ の元に、 ${ B }$ の元を ${ A }$ の元にうつす。

この ${ (C,f) }$ に対して上述の同値関係を考えて、写像をそれぞれの同値類に制限したものに分割する。するとそれぞれの同値類上で ${ A }$ の元と ${ B }$ が一対一対応していることを示せば定理は証明されるが、これはどの型においても ${ A }$ と ${ B }$ が交互に現れることから明らかである（円周型の ${ m }$ は必ず偶数であることに注意）。